45 45 90 Üçgeni, özel üçgenlerden biri olup, geometri dersinde çok önemli bir yeri bulunmaktadır. Trigonometrik bağıntıları çok iyi idrak etmek için 45 45 90 üçgenini çok iyi bilmek gerekir. Bu nedenle, bu üçgeni çok iyi bilmek karşılaşılacak tüm soruların kolayca çözümlenmesini sağlayacaktır.
45 45 90 Üçgeni ikizkenar dik üçgen söylendiği zaman ilk akla gelmesi gereken üçgendir.
Bu üçgenin en önemli özelliğidir. Dik üçgen olması hem de dik olan kenarlarının eşit olması onu özel üçgen yapmaktadır.
45 45 90 Üçgeni kenar uzunlukları
45 45 90 Üçgenin açıları zaten bilinmektedir. Özel üçgenin isminde açıları verilmektedir. Burada en önemli şey kenar uzunluklarıdır. 45 45 90 Üçgeninde iki açının eşit olması bu açıların baktığı kenar uzunlukları da eşit olması gerekmektedir.90 derece açının karşısındaki kenarın uzunluğu ise Pisagor bağıntısına göre karekök 2 kat olacaktır. Bu üçgende kenar uzunlukları arasında a, a, a karekök 2 şeklinde bir bağıntı meydana gelir.
Basit bir örnek ile konuyu özetler isek, bir dik kenar bir santim ise ikiz kenarlıktan dolayı diğer dik kenarda bir santim olması gerekir. Pisagor bağıntısına göre hipotenüs karekök 2 olarak çıkar.
45 45 90 Üçgeni Trigonometrik Bağıntılar
45 45 90 Üçgeni aynı zamanda trigonometri açısından da çok önemlidir. İkiz kenar dik üçgende 45 ve 90 derecelerin tüm trigonometrik oranları çıkarılabilir.
Trigonometrinin genel kurallarına göre; sin 45 = cos 45 ve tan 45 = cot 45 olmaktadır.
Sinüs; bir dik üçgende, dar açının karşısındaki dik kenarın, hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının sinüsü adı verilmektedir. Örnek olarak bir A açısının sinüsü sinA şeklinde gösterilmektedir.
Kosinüs; bir dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hipotenüsün uzunluğuna oranına o dar açının kosinüsü adı verilmektedir. Örnek olarak A açısının kosinüsü cosA şeklinde ifade edilmektedir.
Tanjant; dik üçgende, dar açının karşısındaki dik kenar uzunluğunu komşu dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının tanjantı adı verilmektedir. Örnek olarak A açısının tanjantı tanA şeklinde ifade edilmektedir.
Kotanjant; dik üçgende, bir dar açının komşu dik kenar uzunluğunun hemen karşısında bulunan dik kenar uzunluğuna oranına o dar açının kotanjantı adı verilmektedir. Örnek olarak A açısının kotanjantı cotA şeklinde ifade edilmektedir.
45 45 90 Üçgeni birkaç örnek ile açıklayacak olursak
Soru1: İkiz kenar dik üçgende A= 5 karekök 2 B= X olduğuna göre AC = X uzunluğu kaçtır?
Çözüm: İkiz kenar üçgen bununla birlikte 45 45 90 üçgeni olup, dik kenar uzunlukları birbirine eşittir. Bu ikiz kenar üçgeninin temel şartlarındandır. Bu şartları bildikten sonra şimdi sorunun çözümünü yapabiliriz. Buna göre;
90 derecenin karşısındaki kenar uzunluğu, 45 derecenin karşısındaki kenar uzunluğunun karekök 2 katıdır.
X= 5. √2. √2 olduğuna göre X= 5.2 olur ve X=10 çıkar.
Soru2: İkiz kenar dik üçgende AD uzunluğu 11 cm BC uzunluğu 7√2 olduğuna göre BD uzunluğu kaç santimdir?
Çözüm: İkiz kenar üçgen bununla birlikte 45 45 90 üçgeni olup, dik kenar uzunluklarının birbirine eşit olduğunu artık bilmekteyiz. 45 45 90 üçgeninde 90 derecenin karşısındaki dik kenarın √2 ile çarpına eşit gelmektedir. Bu kuralları bilmeden soruları çözmek mümkün olmamaktadır. Bu krallara göre;
AB = 7√2. √2 ve AB = 7.2 olmaktadır ve AB= 14 çıkmaktadır.
Bize BD uzunluğu sorulduğuna göre BD=14 -11= 3 cm çıkmaktadır.
