30 60 90 Üçgeni, Geometride özel üçgenler başlığı altında dik üçgenler konusu içerisinde incelenir. Geometrik cisimlerden biri olan üçgenlerin 3 adet kenarı vardır. Açıları ise 3 adet iç ve 3 adet dış açı olmak üzere 6 adettir. Üçgenin iç açılarının toplamı 180° iken dış açıları toplamı 360°'dir. Üçgenlerin isimleri kenarlarına ve açılarına göre değişkenlik gösterir.
Kenarlarına göre üçgenler eşkenar üçgen, ikizkenar üçgen ve çeşitkenar üçgen olarak çeşitlendirilir. Açılarına göre üçgenler ise dar açılı üçgen, dik üçgen ve geniş açılı üçgen olarak adlandırılır. Eşkenar üçgen isminden de anlaşılabileceği gibi tüm kenarlar eştir. Kenarları eşit olan üçgenlerin açıları da eşittir. O nedenle eşkenar üçgenlerin her bir iç açısı 60°'dir. İkizkenar üçgende de herhangi iki adet kenar ölçüleri birbirine eşittir. Bu kenarları birleştiren karşılıklı açılar da birbirine eşittir. Dik üçgen ise bir iç açısının ölçüsü 90° olan üçgene denir. Dik üçgende 90°'nin karşısındaki kenara hipotenüs adı verilirken geri kalan iki kenar 90°'yi oluşturduğu için dik kenar adı ile anılır.
Özel üçgenler kenar uzunlukları açıları gereği diğer üçgenlerden farklıdır. Kendilerine ait belirli teoremleri bulunduğu için özel üçgenler adını alır. Özel üçgenler arasında en bilindik olanı dik üçgenlerdir. Dik üçgende en önemli teorem, hipotenüs adı verilen kenarın diğer kenarlardan her zaman uzun olmasıdır.
Örneğin, Bir ABC üçgeninde m (A) = 90° ise [BC] kenarı hipotenüs ve [AB] ve [AC] kenarları da dik kenarlardır.
Dik Üçgende Kenarlar Arası Bağlantılar
Pisagor Bağıntısı: Dik üçgende dik kenarların uzunluklarının kareleri toplamı hipotenüsün uzunluğunun karesine eşittir. Bu sayede;
ABC üçgeninde m (A) = 90° ise [BC] = a [AB] = c ve [AC] = b'dir. Buradan a2 = b2 + c2 sonucuna ulaşılır.
Muhteşem Üçlü: m (A) = 90° dik açı olarak kabul edildiği için bu açıdan BC kenar uzunluğuna çizilen kenarortay BC kenarını iki eşit parçaya böler. Çizilen kenar ortay BC kenarı üzerinde D noktası olarak işaretlenir. Bu sayede;
[BD] = [DC] = [AD] sonucuna ulaşılır. [AD] kenarı a uzunluğuna sahipken [BC] kenarı uzunluğu 2a olarak gösterilir.
Öklid Bağıntısı: Dik üçgenlerde hipotenüse ait yüksekliğin verildiği durumlarda benzerlikten kaynaklanan öklid bağıntıları kullanılır.
- Bir ABC üçgeninde A köşesinden BC kenarına inilen dikmeye yükseklik adı verilir ve h ile gösterilir. BC kenarına indirilen yükseklik; BC kenarı üzerinde D noktası olarak işaretlenir. BC kenarının tüm uzunluğu a kenarı olarak anılırken BC uzunluğu p ve DC uzunluğu k ile anılmaya başlanır. Bu sayede; h2 = p. K sonucuna ulaşılır.
- Bir ABC üçgeninde AC kenar uzunluğu b kenarı iken AB kenar uzunluğu c kenarı ile anılır. Bu sayede; b2 = k. A. C2 = p. A sonucuna ulaşılır.
- Bir ABC üçgeninin alan formülü a. H = b. C olarak iki farklı şekilde yazılabilir. Öklid bağlantısı teoremi sayesinde bu formüller; (1/h2) = (1/b2) + (1/c2) şeklinde yazılabilir.
30 60 90 Üçgeni Özellikleri Nelerdir?
30 60 90 üçgeninin özel üçgenler arasında yer almasının asıl nedeni iç açıları birbirine eşit olan ve her biri 60° olan ABC eşkenar üçgeninden 2 adet dik üçgen elde edilmesidir. ABC eşkenar üçgeni A açısından çizilen yükseklikle ikiye bölünür ve H noktası ile belirlenir. Böylece ABH ve ACH isimli 30 60 90 üçgeni elde edilir.
- ABH üçgeninde m (A) = 30°, m (B) = 60° ve m (H) = 90°'dir.
- ABH üçgeninde m (A) = 30°, m (C) = 60° ve m (H) = 90°'dir.
- ABC üçgeninde |AB| = |AC| = a'dır.
- ABC üçgeninde |BH| = |HC| = a/2'dir.
- ABC üçgeninde |AH| = (A√3)/2'dir.
Ayrıca; eşkenar üçgenden elde edilen bu özel üçgen kendi halinde de bulunabilir. Böyle bir durumda karşılaşıldığı zaman 30 60 90 dik üçgeninde; 30°'nin karşısındaki kenar hipotenüs olarak adlandırılan kenarın yarısına eşittir. 60°'nin karşısındaki kenar ise 30°'nin karşısındaki kenarın √3 katıdır. Formül olarak açıklanırsa;
|AB| = a iken, |AC| = 2a ve |BC| = a√3 sonucuna ulaşılır.
21.01.2024 16:52:50
